Paradoxo da lata furada

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

ApresentaçãoÉ bastante comum, aos alunos que se iniciam nos estudos dos fluidos, serem induzidos a acreditarem num comportamento que, de fato, nas condições propostas, não ocorre na prática.  Uma situação corriqueira é apresentar (via livro ou professor) o 'desenho' de uma lata dotada de três orifícios laterais, contendo água, com os jatos d'água apresentados como se ilustra na figura (a).
O argumento apresentado para tal disposição dos jatos é que, como a pressão aumenta com a profundidade, o jato proveniente do orifício inferior deve percorrer uma distância horizontal maior que aquelas conseguidas pelos jatos que saem pelos orifícios superiores.
Porém, se o 'experimento' for realmente realizado, verificaremos que o jato proveniente do orifício médio é aquele que alcança a maior distância horizontal, como se ilustra na figura (b).  

Esse comportamento do jato médio fere a intuição dos estudantes, evidencia a falácia apresentada no desenho (fig.a) e, quando observado pela primeira vez, pode levar a interessantes discussões. 

DiscussãoNossa intenção aqui é explicar esse 'comportamento paradoxal' usando um pouco de cinemática, a lei de Torricelli e um gráfico. Evidenciaremos, também, que esse resultado 'inesperado' pode ser justificado analiticamente usando um simples cálculo de derivada.

Cálculo da distância horizontal atingida pelo jato d'água

Esse cálculo comporta duas partes, a saber: (a) cálculo da velocidade v_x com que a água sai pelo orifício que dista h da superfície livre e (b) cálculo do alcance horizontal S_x do jato.

A parte (a) é a própria demonstração da equação de Torricelli para a velocidade de vazão de um líquido e, como sabemos, basta comparar a energia potencial gravitacional que aquela porção de água 'perde' para cair da altura h e a energia cinética que 'ganha' na saída do orifício:

Desse modo, a água, exclusivamente sob ação da gravidade (seu peso), abandona o orifício que dista h da superfície livre com velocidade horizontal v_x e alcança, sobre a mesa, a distância horizontal S_x. 

A parte (b) envolve algum conhecimento do 'lançamento de corpos na horizontal'. Como sabemos, sob ação exclusiva da gravidade (suposta constante no local do experimento), os corpos em movimento só podem apresentar dois 'tipos' de trajetórias no referencial inercial adotado: reta vertical ou arco de parábola. Como o jato d'água sai da lata com velocidade horizontal  v_x, a trajetória será um arco de parábola.
Essa componente horizontal da velocidade, da porção de água do jato em movimento, se mantém durante todo o trajeto (uma vez que não há qualquer força na horizontal para alterar seu valor) e, conseqüentemente o movimento componente na horizontal, dessa porção de água, é uniforme. Sua lei de movimento será:

S_x= v_x.t       (2)

onde t (ou mais precisamente Dt) é o intervalo de tempo de queda livre do jato para percorrer a distância (l-h), como se indica na figura (c).

 Assim, para o cálculo desse S_x necessitamos duas informações; o valor de v_x (dado pela equação 1) e do tempo de queda livre para percorrer a distância l - h.
Sabemos que para um objeto em queda livre (sob ação exclusiva de seu peso) tem-se  y = (1/2).g.t², que no nosso caso torna-se:

Agora, podemos substituir os resultados das equações 1 e 3 na equação 2 e teremos:

 Feito isso (obtenção de S_x em função de h) estamos em condições de construir o gráfico S_x versus h (notando que l é constante); e obtemos (figura d):

Note, pela equação 4, que S_x = 0 para h = 0 ou h = l .Nesse gráfico podemos ver claramente que S_x admite um máximo, que parece ocorrer, aproximadamente, para h = l/2. Um exame mais cuidadoso mostrará que esse máximo ocorre exatamente para h = l/2. Façamos esse exame analítico: nos pontos de máximos ou mínimos de uma função, a tangente geométrica à curva, passando por eles, deve ser horizontal. Isso pode ser dito em outras palavras, como as tangentes à curva são dadas analiticamente pela derivada primeira da função, nesses pontos, a derivada primeira da função tem que valer zero".
Então, derivemos a equação 4, que expressa a dependência de S_x com h, em relação a h, e teremos:

'Igualando essa expressão a zero', concluímos que l - 2.h = 0 ou h = l/2, que é a distância contada a partir da superfície livre para o qual o máximo da função ocorre (a distância horizontal do jato é máxima), explicando o fenômeno observado. Realmente, o jato d'água que abandona o orifício médio é o que alcança maior distância horizontal sobre a mesa. Que distância horizontal máxima é essa?
Basta substituir na expressão que fornece S_x em função de h (expressão 4, acima), a variável h por l/2 e encontraremos S_x = l ; ou seja, o alcance máximo é igual à profundidade total do líquido na lata. Outra observação interessante é que esse alcance máximo não depende da aceleração da gravidade local, assim, o jato d'água teria o mesmo alcance caso o experimento fosse realizado na Lua!

Comentário importante
Pergunta: Por que será que o jato não se 'comportou' como 'previa' a intuição ... e a lei de Torricelli?

Resposta: Simplesmente porque ele foi interrompido antes que tivesse tempo de nos satisfazer!

Se a lata for colocada sobre uma plataforma elevada, a uma altura suficiente em relação à mesa, como mostramos na figura (e), o jato será conforme com nossa intuição, a lei será satisfeita ... e tudo volta à normalidade da Física Clássica. Agora o jato proveniente do orifício mais baixo terá o maior alcance horizontal.

Exercício interessante
Propomos que se determine para que altura H da plataforma, o alcance horizontal do jato proveniente do orifício mais baixo é igual à aquele do jato proveniente do orifício do meio.

Se a plataforma tiver uma altura menor do que a solicitada no exercício acima, o alcance horizontal do jato que sai do orifício mais baixo será menor que aquele alcançado pelo jato do orifício médio.

Se a plataforma estiver ao mesmo nível do orifício mais baixo, observemos que:

(a) a velocidade horizontal do jato em um orifício feito ao nível da superfície livre é zero, conseqüentemente, embora empregue um maior tempo na sua queda livre, seu deslocamento horizontal será zero!

(b) a velocidade horizontal do jato que sai pelo orifício mais baixo de todos é grande, mas seu tempo de queda é zero, conseqüentemente seu deslocamento horizontal também será zero!

(c) o deslocamento horizontal dos jatos intermediários entre o topo e o fundo varia desde zero (no topo), passa por valores finitos e retorna a zero (no fundo). Desse modo, podemos esperar que entre o topo e o fundo exista uma posição do furo para a qual o jato alcance um deslocamento horizontal máximo.
Isso deixa claro que o senso comum ou a intuição podem falhar.