Paradoxo da lata furada

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

ApresentaçãoÉ bastante comum, aos alunos que se iniciam nos estudos dos fluidos, serem induzidos a acreditarem num comportamento que, de fato, nas condições propostas, não ocorre na prática.  Uma situação corriqueira é apresentar (via livro ou professor) o 'desenho' de uma lata dotada de três orifícios laterais, contendo água, com os jatos d'água apresentados como se ilustra na figura (a).
O argumento apresentado para tal disposição dos jatos é que, como a pressão aumenta com a profundidade, o jato proveniente do orifício inferior deve percorrer uma distância horizontal maior que aquelas conseguidas pelos jatos que saem pelos orifícios superiores.
Porém, se o 'experimento' for realmente realizado, verificaremos que o jato proveniente do orifício médio é aquele que alcança a maior distância horizontal, como se ilustra na figura (b).  

Esse comportamento do jato médio fere a intuição dos estudantes, evidencia a falácia apresentada no desenho (fig.a) e, quando observado pela primeira vez, pode levar a interessantes discussões. 

DiscussãoNossa intenção aqui é explicar esse 'comportamento paradoxal' usando um pouco de cinemática, a lei de Torricelli e um gráfico. Evidenciaremos, também, que esse resultado 'inesperado' pode ser justificado analiticamente usando um simples cálculo de derivada.

Cálculo da distância horizontal atingida pelo jato d'água

Esse cálculo comporta duas partes, a saber: (a) cálculo da velocidade v_x com que a água sai pelo orifício que dista h da superfície livre e (b) cálculo do alcance horizontal S_x do jato.

A parte (a) é a própria demonstração da equação de Torricelli para a velocidade de vazão de um líquido e, como sabemos, basta comparar a energia potencial gravitacional que aquela porção de água 'perde' para cair da altura h e a energia cinética que 'ganha' na saída do orifício:

Desse modo, a água, exclusivamente sob ação da gravidade (seu peso), abandona o orifício que dista h da superfície livre com velocidade horizontal v_x e alcança, sobre a mesa, a distância horizontal S_x. 

A parte (b) envolve algum conhecimento do 'lançamento de corpos na horizontal'. Como sabemos, sob ação exclusiva da gravidade (suposta constante no local do experimento), os corpos em movimento só podem apresentar dois 'tipos' de trajetórias no referencial inercial adotado: reta vertical ou arco de parábola. Como o jato d'água sai da lata com velocidade horizontal  v_x, a trajetória será um arco de parábola.
Essa componente horizontal da velocidade, da porção de água do jato em movimento, se mantém durante todo o trajeto (uma vez que não há qualquer força na horizontal para alterar seu valor) e, conseqüentemente o movimento componente na horizontal, dessa porção de água, é uniforme. Sua lei de movimento será:

S_x= v_x.t       (2)

onde t (ou mais precisamente Dt) é o intervalo de tempo de queda livre do jato para percorrer a distância (l-h), como se indica na figura (c).

 Assim, para o cálculo desse S_x necessitamos duas informações; o valor de v_x (dado pela equação 1) e do tempo de queda livre para percorrer a distância l - h.
Sabemos que para um objeto em queda livre (sob ação exclusiva de seu peso) tem-se  y = (1/2).g.t², que no nosso caso torna-se:

Agora, podemos substituir os resultados das equações 1 e 3 na equação 2 e teremos:

 Feito isso (obtenção de S_x em função de h) estamos em condições de construir o gráfico S_x versus h (notando que l é constante); e obtemos (figura d):

Note, pela equação 4, que S_x = 0 para h = 0 ou h = l .Nesse gráfico podemos ver claramente que S_x admite um máximo, que parece ocorrer, aproximadamente, para h = l/2. Um exame mais cuidadoso mostrará que esse máximo ocorre exatamente para h = l/2. Façamos esse exame analítico: nos pontos de máximos ou mínimos de uma função, a tangente geométrica à curva, passando por eles, deve ser horizontal. Isso pode ser dito em outras palavras, como as tangentes à curva são dadas analiticamente pela derivada primeira da função, nesses pontos, a derivada primeira da função tem que valer zero".
Então, derivemos a equação 4, que expressa a dependência de S_x com h, em relação a h, e teremos:

'Igualando essa expressão a zero', concluímos que l - 2.h = 0 ou h = l/2, que é a distância contada a partir da superfície livre para o qual o máximo da função ocorre (a distância horizontal do jato é máxima), explicando o fenômeno observado. Realmente, o jato d'água que abandona o orifício médio é o que alcança maior distância horizontal sobre a mesa. Que distância horizontal máxima é essa?
Basta substituir na expressão que fornece S_x em função de h (expressão 4, acima), a variável h por l/2 e encontraremos S_x = l ; ou seja, o alcance máximo é igual à profundidade total do líquido na lata. Outra observação interessante é que esse alcance máximo não depende da aceleração da gravidade local, assim, o jato d'água teria o mesmo alcance caso o experimento fosse realizado na Lua!

Comentário importante
Pergunta: Por que será que o jato não se 'comportou' como 'previa' a intuição ... e a lei de Torricelli?

Resposta: Simplesmente porque ele foi interrompido antes que tivesse tempo de nos satisfazer!

Se a lata for colocada sobre uma plataforma elevada, a uma altura suficiente em relação à mesa, como mostramos na figura (e), o jato será conforme com nossa intuição, a lei será satisfeita ... e tudo volta à normalidade da Física Clássica. Agora o jato proveniente do orifício mais baixo terá o maior alcance horizontal.

Exercício interessante
Propomos que se determine para que altura H da plataforma, o alcance horizontal do jato proveniente do orifício mais baixo é igual à aquele do jato proveniente do orifício do meio.

Se a plataforma tiver uma altura menor do que a solicitada no exercício acima, o alcance horizontal do jato que sai do orifício mais baixo será menor que aquele alcançado pelo jato do orifício médio.

Se a plataforma estiver ao mesmo nível do orifício mais baixo, observemos que:

(a) a velocidade horizontal do jato em um orifício feito ao nível da superfície livre é zero, conseqüentemente, embora empregue um maior tempo na sua queda livre, seu deslocamento horizontal será zero!

(b) a velocidade horizontal do jato que sai pelo orifício mais baixo de todos é grande, mas seu tempo de queda é zero, conseqüentemente seu deslocamento horizontal também será zero!

(c) o deslocamento horizontal dos jatos intermediários entre o topo e o fundo varia desde zero (no topo), passa por valores finitos e retorna a zero (no fundo). Desse modo, podemos esperar que entre o topo e o fundo exista uma posição do furo para a qual o jato alcance um deslocamento horizontal máximo.
Isso deixa claro que o senso comum ou a intuição podem falhar.

Será o Inferno Endotérmico ou exotérmico ?

 

 

 

 

Um professor de termodinâmica, num exame, perguntava aos seus alunos: " O Inferno é Exotérmico ou endotérmico? Justifique a sua resposta, baseando-se em fatos".
A maioria dos estudantes escreveu a resposta usando a Lei de Boyle ou alguma variante da lei.

Um estudante, porém escreveu o seguinte:

" Primeiro, nós postulamos que se almas existem, então eles têm que ter alguma massa. Se têm, então um mol de almas também pode ter uma massa.

Assim, a que taxa entram almas no inferno e a que taxa saem ?

Penso que podemos assumir seguramente que,  uma vez que a alma vai para o inferno, não sairá.

Olhemos para as religiões diferentes que existem no mundo hoje.

Algumas destas religiões acreditam que se você não é um crente da religião deles,  irá para inferno. Como há mais que uma religião e as pessoas não pertencem a mais de uma religião, podemos projetar que todas as pessoas e todas as almas vão para inferno.

Com o número de nascimentos e mortes , nós podemos esperar que o número de almas no inferno aumenta exponencialmente. Agora, olhando a mudança de volume no inferno, a Lei de Boyle diz que , para que a temperatura e pressão no inferno se mantenha constante, a relação da massa de almas e volume precisa ficar constante. Assim, se o inferno está a expandir-se a uma taxa mais lenta que a taxa à qual as almas entram no inferno, então a temperatura e pressão no inferno aumentará até que o inferno desça á Terra.

Claro que, se o inferno se expandir mais rapidamente que o aumento de almas no inferno, a temperatura e pressão descerá até que o inferno congele ".

Piadas na Lata

 

Pergunta: Quantos físicos especialistas na teoria da relatividade geral seriam necessários para trocar uma lâmpada?

Resposta: Dois, um para a segurar e o outro para girar o Universo.

 

Pergunta: Quantos físicos especialistas na relatividade geral seriam necessários para trocar uma lâmpada?

Resposta: Pelo princípio da incerteza eles não conseguem, podem até ver a base (casquilho) mas não conseguem localizar a lâmpada nova.

LISTA DE EXERCÍCIOS- 3°E.M

ELETRIZAÇÃO DOS CORPOS 

 

BOA SORTE

 

1. Dizer que a carga elétrica é quantizada significa que ela:

a) só pode ser positiva. 

b) não pode ser criada nem destruída.   

c) pode ser isolada em qualquer quantidade. 

d) só pode existir como múltipla de uma quantidade mínima definida. 

e) pode ser positiva ou negativa.    

2. O texto a seguir apresenta três lacunas.

Se adicionarmos algumas partículas positivas a um corpo eletricamente neutro, desaparece o equilíbrio. O efeito das partículas positivas supera o das partículas negativas e dizemos que o objeto está carregado positivamente. Podemos também carregar positivamente um objeto ________________ algumas partículas _______________ e deixando, portanto, um excesso de cargas ___________________.

As palavras que completam corretamente essas lacunas são, respectivamente,

a) acrescentando; negativas; positivas. 

b) retirando; negativas; positivas. 

c) retirando; positivas; negativas. 

d) acrescentando, positivas; negativas.  

e) retirando; positivas; positivas.   

3. Três esferas P, Q e R estão eletrizadas. Sabe-se que P atrai Q e que Q repele R. Pode-se afirmar que: 

a) P e Q estão carregadas positivamente. 

b) P e R estão carregadas negativamente. 

c) P repele R. 

d) Q e R têm cargas de sinais diferentes.

e) P e R têm cargas de sinais diferentes.   

4. Um estudante atrita uma barra de vidro com um pedaço de seda e uma barra de borracha com um pedaço de lã. Ele nota que a seda e a lã se atraem, o mesmo acontecendo com o vidro e a borracha. O estudante conclui que esses materiais se dividem em dois pares que têm cargas do mesmo tipo. Com base nesses dados, pode-se afirmar que:

a) a conclusão do estudante está errada. 

b) esses pares são o vidro com a borracha e a seda com a lã.

c) esses pares são o vidro com a lã e a seda com a borracha. 

d) esses pares são o vidro com a seda e a borracha com a lã. 

e) a conclusão do estudante está parcialmente errada.     

5. Eletriza-se por atrito um bastão de plástico com um pedaço de papel. Aproxima-se, em seguida, o bastão eletrizado de um pêndulo eletrostático eletrizado e verifica-se que ocorre uma repulsão. Em qual das alternativas da tabela abaixo a carga de cada elemento corresponde a essa descrição?   Papel Bastão Pêndulo

a) positiva Positiva Positiva

b) negativa Positiva Negativa

c) negativa Negativa Positiva

d) Positiva Positiva Negativa

e) Positiva Negativa Negativa

6. Um bastão, carregado eletricamente, atrai uma pequena esfera de isopor, pendurada por um fio de seda. Uma pessoa, observando o fenômeno, elaborou as seguintes hipóteses:

I. A esfera está carregada negativamente.

II. Trocando-se o bastão por outro com carga de sinal oposto, a esfera será repelida.

III. A esfera pode está neutra.

Assinale:

a) se apenas a hipótese I está correta. 

b) se apenas a hipótese II está correta. 

c) se apenas a hipótese III está correta.

d) se todas as hipóteses estão corretas. 

e) se apenas as hipóteses I e III estão corretas.         

7. Assinale a alternativa correta.

a) Se um corpo A, eletrizado positivamente, atrai um corpo B, concluímos que B está carregado negativamente. 

b) Dizemos que um corpo qualquer está eletrizado negativamente quando ele possui um certo número de elétrons livres. 

c) A eletrização por atrito de dois corpos consiste na passagem de elétrons de um corpo para outro, ficando eletrizado positivamente o corpo que perdeu elétrons.

d) Em virtude de não existirem elétrons livres em um isolante, ele não pode ser eletrizado negativamente.  

e) Quando dois corpos são atritados um contra o outro, ambos adquirem cargas elétricas de mesmo sinal. 

8. Qual das afirmativas abaixo está correta?

a) Somente corpos carregados positivamente atraem corpos neutros. 

b) Somente corpos carregados negativamente atraem corpos neutros. 

c) Um corpo carregado pode atrair ou repelir um corpo neutro. 

d) Se um corpo A eletrizado positivamente atrai um corpo B, podemos afirmar que B está carregado negativamente.   

e) Um corpo neutro pode ser atraído por um corpo eletrizado. 

9. No momento em que se desligam certos aparelhos de televisão, ao se suspender uma tira de plástico na frente da tela, esta sofre atração. Considerando essa situação, afirma-se que a tira de plástico:

I. Pode estar eletricamente neutra.

II. Deve estar carregada, necessariamente, com carga positiva.

III. Sofre polarização.

Das afirmativas:

a) Somente a I é correta.       

b) Somente a II é correta. 

c) Apenas a I e II são corretas.      

d) Apenas a I e III são corretas.

e) I, II e III são corretas.  

LISTA DE EXERCÍCIOS - 2°E.M

LISTA DE TERMOLOGIA – 2°E.M

1. (Unimep-SP) Numa das regiões mais frias do mundo, o termômetro indica -76° F. Qual será o valor dessa temperatura na escala Celsius?

a) -60

b) -76

c) -50,4

d) -103

 2. (UERJ) Uma temperatura na escala Fahrenheit é indicada por um número que é o dobro daquele pelo qual ela é representada na escala Celsius. Essa temperatura é: 

a) 140°C

b) 148° C

c) 160° C

d) 130° C

3. (Fatec-SP) Calor é:

a) energia que aumenta em um corpo quando ele se aquece.

b) energia que sempre pode ser convertida integralmente em trabalho.

c) energia que jamais pode ser convertida integralmente em trabalho.

d) o agente físico responsável pelo aquecimento dos corpos.

e) uma modalidade de energia em trânsito.

4. (Fatec-SP) Calor é energia que se transfere de um corpo para outro em determinada condição. Para essa transferência de energia é necessário que entre os corpos exista:

a) uma diferença de temperatura.

b) vácuo.

c) contato mecânico rígido.

d) ar ou um gás qualquer.

 

 

5. (Cescea-SP)) Escolha a opção que completa corretamente as lacunas do texto:

"Por muito tempo, na história da Física, considerou-se que o calor era uma propriedade dos corpos, que a possuíam em uma quantidade finita. Este conceito errôneo desapareceu no final do século XVIII. E hoje sabe-se que calor é uma forma de (1)________e, portanto, não tem sentido falar em (2) ______________''.  

a) (1) temperatura;             (2) aquecimento dos corpos.

b) (1) energia em trânsito; (2) calor contido nos corpos.

c) (1) pressão;                    (2) energia contida nos corpos.

d) (1) força ;                       (2) trabalho realizado por um corpo .

e) (1) momento;                 (2) energia cinética de um corpo .

6. (PUC-SP) Assinale a frase mais correta conceitualmente.

a) "O dia está frio; estou recebendo muito frio".

b) "Vou medir a febre dele".

c) "estou com calor".

d) "O dia está quente; estou recebendo muito calor".

e) as alternativas (a) e (d) estão corretas.

7. A temperatura de um gás é de 127o C que, na escala absoluta, corresponde a:

a) 146 K

b) 200 K

c) 300 K

d) 450 K

e) 400 K

8. (UECE) Uma estudante de enfermagem observa que a temperatura de certo paciente variou, num período, de 5° C. A variação correspondente na escala Fahrenheit será de:

a) 4° F

b) 9° F

c) 12° F

d) 13° F

e) 18° F

9. (Unimep-SP) Mergulham-se dois termômetros na água: um graduado na escala Celsius e o outro na Fahrenheit. Espera-se o equilíbrio térmico e nota-se que a diferença entre as leituras nos dois termômetros é igual a 92. A temperatura da água valerá, portanto:

a) 28° C ; 120° F.

b) 32° C ; 124° F.

c) 75° C ; 167° F.

d) 60° C ; 152° F.

e) n.r.a

10. (Fatec-SP) Certa escala termométrica adota os valores -20° E e 280° E, respectivamente, para os pontos de fusão de gelo e ebulição da água, sob pressão de 1 atm. A fórmula de conversão entre essa escala e a escala Celsius é:

a) TE   = TC + 20

b) TE   = TC - 20

c) TE   = 3TC + 20

d) TE   = 3TC - 20

e) TE   = 3TC

11. (Cesgranrio) Quando uma determinada quantidade de mercúrio é aquecida de 3° C a 5° C, o seu volume:

a) diminui.

b) primeiro diminui, depois aumenta.

c) aumenta.

d) primeiro aumenta, depois diminui.

e) não se altera.

 

 

12. (UFAL 93) A temperatura de fusão do gelo é 0°C. Essa temperatura, na escala absoluta e escala fahrenheit, é expressa, respectivamente, pelos valores:

a) 80 e 32

b) 273 e 32

c) zero e 273

d) 32 e 273

e) 32 e 80 não se altera.  

13. (UMC-SP) Do estudo geotérmico, sabe-se que a temperatura da Terra, a partir da superfície, aumenta de 1°C a cada 33 m de acréscimo na profundidade. Admitindo-se que o ponto de fusão do ferro seja 1 520° C , então a profundidade aproximada para encontrar ferro em fusão é:

a) 50 km

b) 60 km

c) 40 km

d) 35 km

e) 20 km

14. (Mackenzie-SP) Um pesquisador necessita determinar a variação de temperatura sofrida por um corpo, porém dispõe apenas de um termômetro calibrado numa certa escala X, a qual se relaciona com a escala Celsius, através da relação Tc = 2Tx + 10. Uma variação de 10o X corresponde, na escala Celsius, a uma variação de: 

a) 30° C

b) 20° C

c) 40° C

d) 50° C

e) 100° C

 

 

 

15. (UNIFOR-CE) Uma escala termométrica A foi criada por um aluno, é tal que o ponto de fusão do gelo corresponde a -20° A e o de ebulição da água corresponde a 30° A. A temperatura Celsius em que as escalas A e Celsius fornecem valores simétricos é:

a) -26,6° C

b) -13,3° C

c) 18,8° C

d) 13,3° C

e) 26,6° C

16.(Mackenzie-SP) Certo dia foi registrada uma temperatura cuja indicação na escala Celsius correspondia a 1/3 da respectiva indicação na escala Fahrenheit. Tal temperatura foi de:

a) 80° C

b) 41,8° F

c) 41,8° C

d) 26,7° F

e) 80°F

17. (UFAL 96) Um termômetro A foi calibrado de modo que o ponto de gelo corresponde a 2° A e o ponto de ebulição da água corresponde a 22° A. Esse termômetro de escala A e um termômetro de escala Celsius indicarão o mesmo valor para a temperatura de:

a) 2,5

b) 25

c) 13

d) 7,5

e) 5,0

18.(UFAL 91/2) A altura h da coluna capilar de um termômetro mede 4 cm a 10° C e 16 cm a 50° C. A 0° C a altura h, em cm, será de:

a) 0

b) 0,5

c) 3,0

d) 2,0

e) 1,0

19. (UFAL 91) A equação de conversão de uma escala X para a escala Celsius é dada pela expressão           Tx = (5/4)Tc - 20   onde Tx é a temperatura em graus X e Tc a temperatura em graus Celsius. Pode-se afirmar que os pontos fixos da escala X correspondentes à fusão do gelo e à ebulição da água sob pressão normal são: respectivamente:

a) -20° X e 125° X

b) 0° X e 95° X

c) -20° X e 105° X

d) 10o X e 105o X

e) 20° X e 125° X  

 

 

 

20. (UFAL 89) Ultimamente têm sido descobertas algumas cerâmicas especiais que se tornam super condutoras a uma temperatura de aproximadamente 105 K. Expressa em graus Celsius essa temperatura é de:

a) 168

b) 105

c) -212

d) -168

e) -273

Física na Lata

LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA – 1°E.M

1. Uma pessoa viajando de automóvel, numa estrada reta e horizontal e com velocidade constante em relação ao solo, deixa cair um objeto pela janela do mesmo. Despreze a ação do ar. Podemos afirmar que a trajetória descrita pelo objeto é:   

a) um segmento de reta horizontal, em relação a um observador parado na estrada. 

b) um segmento de reta vertical, em relação a um observador parado na estrada.

c) um arco de parábola, em relação à pessoa que viaja no automóvel.

d) um arco de parábola, em relação a um observador parado na estrada.

e) independente do referencial adotado.  

2. Considere um ponto na superfície da Terra. Podemos afirmar que:

a) o ponto descreve uma trajetória circular.

b) o ponto está em repouso.   

c) o ponto descreve uma trajetória elíptica.

d) o ponto descreve uma trajetória parabólica.

e) a trajetória descrita depende do referencial adotado.

3. Um homem, em pé sobre a carroceria de um caminhão que se move em uma estrada reta com velocidade constante, lança uma pedra verticalmente para cima. Com relação ao movimento da pedra e desprezando o atrito com o ar, é correto afirmar que:

a) ela cairá no chão, atrás do caminhão, se a velocidade deste for grande.

b) ela cairá nas mãos do homem, qualquer que seja a velocidade do caminhão.

c) em relação à estrada, a pedra tem movimento retilíneo.

d) em relação ao caminhão, o movimento da pedra é curvilíneo.

e) em relação ao homem, a trajetória da pedra é um arco de parábola.

 

 

4. Considere a seguinte situação: um ônibus movendo-se por uma estrada e duas pessoas, uma A, sentada no ônibus, e outra B, parada na estrada, ambas observando uma lâmpada fixa no teto do ônibus. A diz: "A lâmpada não se move em relação a mim". B diz:"A lâmpada está se movimentando, uma vez que ela está se afastando de mim".        

a) A está errada e B está certa.

b) A está certa e B está errada.

c) Ambas estão erradas.

d) Cada uma, dentro do seu ponto de vista, está certa. 

e) n.r.a. 

5. Um parafuso se desprende do teto de um ônibus que está em movimento, com velocidade constante em relação a Terra. Desprezando a resistência do ar, a trajetória do parafuso, em relação ao ônibus, é: 

a) parabólica.

b) retilínea e vertical.

c) um ponto geométrico.

d) retilínea e horizontal.

e) inclinada.   

6. Um avião, voando em linha reta com velocidade constante em relação ao solo, abandona uma bomba. Desprezando a resistência do ar, a trajetória dessa bomba será em forma de uma:  

a) parábola para um observador que estiver no avião.

b) linha reta vertical para um observador que estiver na Terra.

c) linha reta horizontal para um observador que estiver no avião.

d) linha reta vertical para um observador que estiver no avião.

e) mesma figura para qualquer observador, pois independe do referencial.

7. Um móvel percorre a distância de 300 m em 1 min. Calculando sua velocidade escalar média encontramos:

a) 5 m/s. 

b) 6 m/s. 

c) 7 m/s. 

d) 8 m/s. 

e) 9 m/s.

8. Há 500 anos, Cristóvão Colombo partiu de Gomera (Ilhas Canárias) e chegou a Guanahani (Ilhas Bahamas), após navegar cerca de 3 000 milhas marítimas (5556 km) durante 33 dias. Considerando que um dia tem 86 400 segundos, a velocidade média da travessia oceânica, no sistema Internacional (S.I) de unidades, foi de aproximadamente:

a) 2 x 10^-2 m/s

b) 2 x 10^-1 m/s

c) 2 x 10⁰ m/s 

d) 2 x 10¹ m/s   

e) 2 x 10² m/s

9. Na sala de aula, você está sentado e permanece imóvel nessa posição. Podemos afirmar que você estará em repouso em relação a um sistema:

a) fixo na entrada da sala.

b) concebido fixo na Lua.

c) colocado fixo num automóvel que passa na frente da escola.

d) imaginado fixo no Sol.

e) qualquer que seja o sistema.

10. Uma pessoa está sentada num ônibus exatamente embaixo de uma lâmpada presa ao teto. A pessoa está olhando para a frente. O ônibus está movimentando-se numa certa rapidez constante. De repente a lâmpada se desprende do teto e cai. Onde cairá a lâmpada? 

a) Na frente da pessoa.

b) Atrás da pessoa.

c) Ao lado da pessoa.

d) Em cima da pessoa.

e) Para responder é necessário saber a velocidade do ônibus e a altura de onde a lâmpada cai.